उजव्या त्रिकोणी प्रिझमचे पार्श्व चेहरे. त्रिकोणी प्रिझम सर्व सूत्रे आणि कार्यांची उदाहरणे. नियमित चतुर्भुज प्रिझमसाठी सूत्रे

या व्हिडिओ ट्यूटोरियलच्या मदतीने, प्रत्येकजण स्वतंत्रपणे “पॉलीहेड्रॉनची संकल्पना” या विषयाशी परिचित होऊ शकेल. प्रिझम. प्रिझम पृष्ठभाग क्षेत्र. धड्याच्या दरम्यान, शिक्षक पॉलीहेड्रॉन आणि प्रिझमसारखे भौमितिक आकार काय आहेत याबद्दल बोलतील, योग्य व्याख्या देतील आणि विशिष्ट उदाहरणांसह त्यांचे सार स्पष्ट करतील.

या धड्याच्या मदतीने, प्रत्येकजण स्वतंत्रपणे "पॉलीहेड्रॉनची संकल्पना" या विषयाशी परिचित होण्यास सक्षम असेल. प्रिझम. प्रिझम पृष्ठभाग क्षेत्र.

व्याख्या. बहुभुजांनी बनलेल्या आणि एका विशिष्ट भौमितिक शरीराला बांधलेल्या पृष्ठभागाला पॉलिहेड्रल पृष्ठभाग किंवा पॉलिहेड्रॉन असे म्हणतात.

पॉलिहेड्राची खालील उदाहरणे विचारात घ्या:

1. टेट्राहेड्रॉन अ ब क डचार त्रिकोणांनी बनलेली पृष्ठभाग आहे: ABC, adb, bdcआणि एडीसी(आकृती क्रं 1).

तांदूळ. एक

2. समांतर ABCDA 1 B 1 C 1 D 1सहा समांतरभुज चौकोनांनी बनलेला पृष्ठभाग आहे (चित्र 2).

तांदूळ. 2

पॉलिहेड्रॉनचे मुख्य घटक म्हणजे चेहरे, कडा, शिरोबिंदू.

चेहरे बहुभुज आहेत जे पॉलिहेड्रॉन बनवतात.

कडा चेहऱ्याच्या बाजू आहेत.

शिरोबिंदू म्हणजे कडांची टोके.

टेट्राहेड्रॉनचा विचार करा अ ब क ड(आकृती क्रं 1). चला त्याचे मुख्य घटक सूचित करूया.

पैलू: त्रिकोण ABC, ADB, BDC, ADC.

बरगड्या: AB, AC, BC, DC, इ.स, बी.डी.

शिखरे: अ ब क ड.

एका बॉक्सचा विचार करा ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(चित्र 2).

पैलू: समांतरभुज चौकोन AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

बरगड्या: ए.ए 1 , बीबी 1 , एस.एस 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

शिखरे: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 .

पॉलिहेड्रॉनचा एक महत्त्वाचा विशेष केस म्हणजे प्रिझम.

ABSA 1 IN 1 सोबत 1(चित्र 3).

तांदूळ. 3

समान त्रिकोण ABCआणि A 1 B 1 C 1α आणि β समांतर विमानांमध्ये स्थित आहेत जेणेकरून कडा AA 1, BB 1, SS 1समांतर आहेत.

ते आहे ABSA 1 IN 1 सोबत 1- त्रिकोणी प्रिझम, जर:

1) त्रिकोण ABCआणि A 1 B 1 C 1समान आहेत.

2) त्रिकोण ABCआणि A 1 B 1 C 1α आणि β समांतर विमानांमध्ये स्थित: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) बरगड्या AA 1, BB 1, SS 1समांतर आहेत.

ABCआणि A 1 B 1 C 1- प्रिझमचा पाया.

AA 1, BB 1, SS 1- प्रिझमच्या बाजूच्या फासळ्या.

जर एखाद्या अनियंत्रित बिंदूपासून एच १एक समतल (उदाहरणार्थ, β) लंब ड्रॉप करा प.पू. १समतल α वर, नंतर या लंबकाला प्रिझमची उंची म्हणतात.

व्याख्या. जर बाजूकडील कडा पायथ्याशी लंब असतील तर प्रिझमला सरळ म्हणतात, अन्यथा त्याला तिरकस म्हणतात.

त्रिकोणी प्रिझमचा विचार करा ABSA 1 IN 1 सोबत 1(चित्र 4). हे प्रिझम सरळ आहे. म्हणजेच, त्याच्या बाजूच्या कडा पायथ्याशी लंब असतात.

उदाहरणार्थ, बरगडी एए १विमानाला लंब ABC. काठ एए १या प्रिझमची उंची आहे.

तांदूळ. चार

बाजूचा चेहरा लक्षात घ्या AA 1 V 1 Vपायथ्याशी लंब ABCआणि A 1 B 1 C 1, कारण ते लंबातून जाते एए १पाया करण्यासाठी.

आता झुकलेल्या प्रिझमचा विचार करा ABSA 1 IN 1 सोबत 1(चित्र 5). येथे बाजूकडील धार पायाच्या समतलाला लंबवत नाही. जर आपण बिंदूपासून सोडले तर अ १लंब अ 1 एचवर ABC, तर हा लंब प्रिझमची उंची असेल. सेगमेंट लक्षात घ्या ए.एनविभागाचे प्रक्षेपण आहे एए १विमानाकडे ABC.

मग रेषेतील कोन एए १आणि विमान ABCरेषेतील कोन आहे एए १आणि ती ए.एनविमानावर प्रक्षेपण, म्हणजेच कोन अ 1 ए.एच.

तांदूळ. ५

चतुर्भुज प्रिझमचा विचार करा ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(चित्र 6). बघूया कसा निघतो ते.

1) चतुर्भुज अ ब क डचतुर्भुज समान A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) चौकोन अ ब क डआणि A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) चौकोन अ ब क डआणि A 1 B 1 C 1 D 1अशी व्यवस्था केली आहे की बाजूच्या फासळ्या समांतर आहेत, म्हणजे: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

व्याख्या. प्रिझमचा कर्ण हा एक विभाग आहे जो प्रिझमच्या दोन शिरोबिंदूंना जोडतो जे एकाच चेहऱ्याशी संबंधित नाहीत.

उदाहरणार्थ, एसी १- चतुर्भुज प्रिझमचा कर्ण ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

व्याख्या. तर बाजूला धार एए १बेसच्या समतलाला लंब, मग अशा प्रिझमला सरळ रेषा म्हणतात.

तांदूळ. 6

चतुर्भुज प्रिझमची एक विशेष केस ज्ञात समांतर पाईप आहे. समांतर ABCDA 1 B 1 C 1 D 1अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. ७.

ते कसे कार्य करते ते पाहूया:

1) समान आकृत्या बेसमध्ये आहेत. या प्रकरणात - समान समांतरभुज अ ब क डआणि A 1 B 1 C 1 D 1: अ ब क ड = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) समांतरभुज चौकोन अ ब क डआणि A 1 B 1 C 1 D 1α आणि β समांतर विमानांमध्ये झोपा: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) समांतरभुज चौकोन अ ब क डआणि A 1 B 1 C 1 D 1अशा प्रकारे व्यवस्था केली आहे की बाजूच्या फासळ्या एकमेकांना समांतर आहेत: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

तांदूळ. ७

एका बिंदूपासून अ १लंब ड्रॉप ए.एनविमानाकडे ABC. रेषाखंड अ 1 एचउंची आहे.

हेक्सागोनल प्रिझम कसे व्यवस्थित केले जाते ते विचारात घ्या (चित्र 8).

1) समान षटकोनी पायावर आहेत ABCDEFआणि A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) षटकोनी विमाने ABCDEFआणि A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1समांतर, म्हणजेच तळ समांतर विमानांमध्ये असतात: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) षटकोनी ABCDEFआणि A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1सर्व बाजूच्या कडा एकमेकांना समांतर असतील अशा प्रकारे व्यवस्था केली आहे: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

तांदूळ. आठ

व्याख्या. जर कोणत्याही बाजूची धार पायाच्या समतलाला लंब असेल तर अशा षटकोनी प्रिझमला सरळ रेषा म्हणतात.

व्याख्या. उजव्या प्रिझमचे तळ नियमित बहुभुज असल्यास त्याला नियमित म्हणतात.

नियमित त्रिकोणी प्रिझमचा विचार करा ABSA 1 IN 1 सोबत 1.

तांदूळ. ९

त्रिकोणी प्रिझम ABSA 1 IN 1 सोबत 1- बरोबर, याचा अर्थ असा की नियमित त्रिकोण पायथ्याशी असतात, म्हणजेच या त्रिकोणांच्या सर्व बाजू समान असतात. तसेच, हे प्रिझम सरळ आहे. याचा अर्थ बाजूची धार पायाच्या समतलाला लंब आहे. आणि याचा अर्थ असा आहे की सर्व बाजूंचे चेहरे समान आयत आहेत.

तर जर त्रिकोणी प्रिझम ABSA 1 IN 1 सोबत 1बरोबर आहे, तर:

1) बाजूची धार पायाच्या समतलाला लंब आहे, म्हणजेच ती उंची आहे: एए १ ⊥ ABC.

2) पाया हा एक नियमित त्रिकोण आहे: ∆ ABC- बरोबर.

व्याख्या. प्रिझमचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे त्याच्या सर्व चेहऱ्यांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज. सूचित केले एस पूर्ण.

व्याख्या. पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे सर्व बाजूकडील चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज. सूचित केले एस बाजू.

प्रिझमला दोन बेस असतात. मग प्रिझमचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

S पूर्ण \u003d S बाजू + 2S मुख्य.

सरळ प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ बेसच्या परिमितीच्या गुणाकार आणि प्रिझमच्या उंचीइतके असते.

त्रिकोणी प्रिझमच्या उदाहरणावर पुरावा दिला जाईल.

दिले: ABSA 1 IN 1 सोबत 1- थेट प्रिझम, i.e. एए १ ⊥ ABC.

AA 1 = h.

सिद्ध करा: S बाजू \u003d R मुख्य ∙ h.

तांदूळ. दहा

पुरावा.

त्रिकोणी प्रिझम ABSA 1 IN 1 सोबत 1- सरळ, म्हणून AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C -आयत

पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आयतांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून शोधा AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S बाजू \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P मुख्य ∙ h.

आम्हाला मिळते S बाजू \u003d R मुख्य ∙ h, Q.E.D.

आम्हाला पॉलिहेड्रॉन, प्रिझम, त्याच्या वाणांची ओळख झाली. आम्ही प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागावर प्रमेय सिद्ध केला. पुढील धड्यात, आपण प्रिझमवर समस्या सोडवू.

1. भूमिती. ग्रेड 10-11: शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक (मूलभूत आणि प्रोफाइल स्तर) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 वी आवृत्ती, दुरुस्त आणि पूरक - एम.: नेमोसिन, 2008. - 288 पी. : आजारी.
2. भूमिती. ग्रेड 10-11: सामान्य शैक्षणिक संस्थांसाठी एक पाठ्यपुस्तक / शारीगिन आय. एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी.: आजारी.
3. भूमिती. ग्रेड 10: गणिताचा सखोल आणि प्रोफाइल अभ्यासासह सामान्य शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक / ई. व्ही. पोटोस्कुएव, एल. आय. झ्वालिच. - 6 वी आवृत्ती, स्टिरियोटाइप. - एम. ​​: बस्टर्ड, 008. - 233 पी. : आजारी

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. जुनी शाळा ().
4. wikihow().

1. प्रिझममध्ये चेहऱ्यांची किमान संख्या किती असू शकते? अशा प्रिझमला किती शिरोबिंदू, कडा असतात?
2. 100 कडा असलेले प्रिझम आहे का?
3. बाजूची बरगडी ६०° च्या कोनात बेस प्लेनकडे झुकलेली असते. बाजूची किनार 6 सेमी असल्यास प्रिझमची उंची शोधा.
4. उजव्या त्रिकोणी प्रिझममध्ये, सर्व कडा समान असतात. त्याच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 27 ​​सेमी 2 आहे. प्रिझमचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

व्याख्यान: प्रिझम, त्याचे तळ, बाजूकडील कडा, उंची, बाजूकडील पृष्ठभाग; सरळ प्रिझम; उजवा प्रिझम

प्रिझम

जर तुम्ही आमच्यासोबत मागील प्रश्नांमधून सपाट आकृत्या शिकला असाल, तर तुम्ही त्रिमितीय आकृत्यांचा अभ्यास करण्यास पूर्णपणे तयार आहात. आपण शिकू शकणारा पहिला घन प्रिझम असेल.

प्रिझम- हे त्रिमितीय शरीर आहे ज्यामध्ये मोठ्या संख्येने चेहरे आहेत.

या आकृतीच्या पायावर दोन बहुभुज आहेत, जे समांतर समतलांमध्ये स्थित आहेत आणि सर्व बाजूचे चेहरे समांतरभुज चौकोनाच्या स्वरूपात आहेत.

अंजीर 1. अंजीर. 2

तर, प्रिझममध्ये काय असते ते शोधूया. हे करण्यासाठी, Fig.1 वर लक्ष द्या

आधी सांगितल्याप्रमाणे, प्रिझममध्ये दोन पाया आहेत जे एकमेकांना समांतर आहेत - हे पंचकोन ABCEF आणि GMNJK आहेत. शिवाय, हे बहुभुज एकमेकांच्या समान आहेत.

प्रिझमच्या इतर सर्व चेहऱ्यांना बाजूचे चेहरे म्हणतात - त्यात समांतरभुज चौकोन असतात. उदाहरणार्थ, BMNC, AGKF, FKJE, इ.

सर्व बाजूंच्या चेहर्यांच्या सामान्य पृष्ठभागास म्हणतात बाजूची पृष्ठभाग.

समीप चेहऱ्याच्या प्रत्येक जोडीची एक सामान्य बाजू असते. अशा सामान्य बाजूस धार म्हणतात. उदाहरणार्थ, MB, CE, AB, इ.

जर प्रिझमचे वरचे आणि खालचे तळ एका लंबाने जोडलेले असतील तर त्याला प्रिझमची उंची असे म्हणतात. आकृतीमध्ये, उंची ही सरळ रेषा OO 1 म्हणून चिन्हांकित केली आहे.

प्रिझमचे दोन मुख्य प्रकार आहेत: तिरकस आणि सरळ.

जर प्रिझमच्या बाजूच्या कडा पायथ्याशी लंब नसतील तर अशा प्रिझमला म्हणतात. तिरकस.

जर प्रिझमच्या सर्व कडा पायथ्याशी लंब असतील तर अशा प्रिझमला म्हणतात. सरळ.

जर प्रिझमचे तळ नियमित बहुभुज असतील (ज्यांना समान बाजू आहेत), तर अशा प्रिझमला म्हणतात. योग्य.

जर प्रिझमचे तळ एकमेकांना समांतर नसतील तर अशा प्रिझमला म्हणतात. कापलेले

तुम्ही ते Fig.2 मध्ये पाहू शकता

प्रिझमचे खंड, क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे

व्हॉल्यूम शोधण्यासाठी तीन मूलभूत सूत्रे आहेत. ते त्यांच्या अर्जामध्ये एकमेकांपासून भिन्न आहेत:

प्रिझमच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी समान सूत्रे:

स्टिरीओमेट्री ही भूमितीची एक शाखा आहे जी एकाच विमानात नसलेल्या आकृत्यांचा अभ्यास करते. स्टिरिओमेट्रीच्या अभ्यासातील एक वस्तू म्हणजे प्रिझम. लेखात आम्ही भौमितिक दृष्टिकोनातून प्रिझमची व्याख्या देऊ आणि त्याचे वैशिष्ट्य असलेल्या गुणधर्मांची थोडक्यात यादी करू.

भौमितिक आकृती

भूमितीमध्ये प्रिझमची व्याख्या खालीलप्रमाणे आहे: ही एक अवकाशीय आकृती आहे ज्यामध्ये समांतर समतलांमध्ये स्थित दोन समान एन-गोन्स असतात, त्यांच्या शिरोबिंदूंनी एकमेकांना जोडलेले असतात.

प्रिझम मिळवणे कठीण नाही. कल्पना करा की दोन समान n-गोन्स आहेत, जेथे n ही बाजू किंवा शिरोबिंदूंची संख्या आहे. चला त्यांना ठेवा जेणेकरून ते एकमेकांच्या समांतर असतील. त्यानंतर, एका बहुभुजाचे शिरोबिंदू दुसर्‍याच्या संबंधित शिरोबिंदूंशी जोडलेले असावेत. तयार केलेल्या आकृतीमध्ये दोन n-गोनल बाजू असतील, ज्यांना बेस म्हणतात आणि n चतुर्भुज बाजू, ज्या सामान्यतः समांतरभुज चौकोन असतात. समांतरभुज चौकोनांचा संच आकृतीच्या बाजूचा पृष्ठभाग बनवतो.

प्रश्नातील आकृती भौमितिकरित्या प्राप्त करण्याचा आणखी एक मार्ग आहे. म्हणून, जर आपण एन-गॉन घेतला आणि समान लांबीच्या समांतर सेगमेंट्स वापरून दुसर्‍या समतलात स्थानांतरित केले, तर नवीन समतलात आपल्याला मूळ बहुभुज मिळेल. दोन्ही बहुभुज आणि त्यांच्या शिरोबिंदूंमधून काढलेले सर्व समांतर खंड प्रिझम बनवतात.

वरील चित्रात ते असे म्हणतात कारण त्याचे तळ त्रिकोण आहेत.

आकृती बनवणारे घटक

प्रिझमची व्याख्या वर दिली होती, ज्यावरून हे स्पष्ट होते की आकृतीचे मुख्य घटक त्याचे चेहरे किंवा बाजू आहेत, बाह्य जागेपासून प्रिझमचे सर्व अंतर्गत बिंदू मर्यादित करतात. विचाराधीन आकृतीचा कोणताही चेहरा दोन प्रकारांपैकी एक आहे:

• बाजूकडील;
• मैदान

n बाजूचे तुकडे आहेत आणि ते समांतरभुज चौकोन किंवा त्यांचे विशिष्ट प्रकार (आयत, चौरस) आहेत. सर्वसाधारणपणे, बाजूचे चेहरे एकमेकांपासून वेगळे असतात. बेसचे फक्त दोन चेहरे आहेत, ते एन-गोन्स आहेत आणि एकमेकांच्या समान आहेत. अशा प्रकारे, प्रत्येक प्रिझमला n+2 बाजू असतात.

बाजूंच्या व्यतिरिक्त, आकृती त्याच्या शिरोबिंदू द्वारे दर्शविले जाते. ते बिंदू आहेत जेथे एकाच वेळी तीन चेहरे स्पर्श करतात. शिवाय, तीनपैकी दोन चेहरे नेहमी बाजूच्या पृष्ठभागाशी संबंधित असतात आणि एक - पायाशी. अशा प्रकारे, प्रिझममध्ये विशेष निवडलेला एक शिरोबिंदू नसतो, उदाहरणार्थ, पिरॅमिडमध्ये, ते सर्व समान असतात. आकृतीच्या शिरोबिंदूंची संख्या 2*n (प्रत्येक पायासाठी n तुकडे) आहे.

शेवटी, प्रिझमचा तिसरा महत्त्वाचा घटक म्हणजे त्याच्या कडा. हे विशिष्ट लांबीचे विभाग आहेत, जे आकृतीच्या बाजूंच्या छेदनबिंदूच्या परिणामी तयार होतात. चेहऱ्यांप्रमाणे, कडा देखील दोन भिन्न प्रकार आहेत:

• किंवा फक्त बाजूंनी बनलेले;
• किंवा समांतरभुज चौकोनाच्या जंक्शनवर आणि एन-गोनल बेसच्या बाजूने उद्भवते.

अशा प्रकारे कडांची संख्या 3*n आहे आणि त्यापैकी 2*n उल्लेखित प्रकारांपैकी दुसऱ्याशी संबंधित आहेत.

प्रिझम प्रकार

प्रिझमचे वर्गीकरण करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. तथापि, ते सर्व आकृतीच्या दोन वैशिष्ट्यांवर आधारित आहेत:

• एन-कोल बेसच्या प्रकारावर;
• बाजूला प्रकार.

सुरुवातीला, आपण दुसऱ्या एकवचनाकडे वळू आणि सरळ रेषेची व्याख्या देऊ. जर किमान एक बाजू सामान्य प्रकारचा समांतरभुज चौकोन असेल तर आकृतीला तिरकस किंवा तिरकस म्हणतात. जर सर्व समांतरभुज चौकोन आयत किंवा चौरस असतील तर प्रिझम सरळ असेल.

आपण थोड्या वेगळ्या प्रकारे व्याख्या देखील देऊ शकता: सरळ आकृती एक प्रिझम आहे ज्यामध्ये बाजूच्या कडा आणि चेहरे त्याच्या पायथ्याशी लंब असतात. आकृती दोन चौकोनी आकृत्या दाखवते. डावा सरळ आहे, उजवा तिरकस आहे.

आता बेसमध्ये असलेल्या एन-गॉनच्या प्रकारानुसार वर्गीकरणाकडे वळू. त्याच्या समान बाजू आणि कोन किंवा भिन्न असू शकतात. पहिल्या प्रकरणात, बहुभुज नियमित म्हणतात. जर विचाराधीन आकृतीमध्ये पायावर समान बाजू आणि कोन असलेला बहुभुज असेल आणि ती सरळ रेषा असेल, तर त्याला नियमित म्हणतात. या व्याख्येनुसार, त्याच्या पायथ्याशी नियमित प्रिझममध्ये समभुज त्रिकोण, एक चौरस, नियमित पंचकोन किंवा षटकोनी इत्यादी असू शकतात. सूचीबद्ध योग्य आकृत्या आकृतीमध्ये दर्शविल्या आहेत.

प्रिझमचे रेखीय मापदंड

विचाराधीन आकृत्यांच्या परिमाणांचे वर्णन करण्यासाठी, खालील पॅरामीटर्स वापरले जातात:

• उंची;
• पायाच्या बाजू;
• बाजूच्या बरगडीची लांबी;
• व्हॉल्यूमेट्रिक कर्ण;
• कर्ण बाजू आणि पाया.

नियमित प्रिझमसाठी, सर्व नामांकित परिमाण एकमेकांशी संबंधित आहेत. उदाहरणार्थ, बाजूच्या कड्यांची लांबी समान आणि उंचीच्या समान आहे. विशिष्ट n-गोनल नियमित आकृतीसाठी, अशी सूत्रे आहेत जी आम्हाला कोणत्याही दोन रेषीय पॅरामीटर्समधून उर्वरित सर्व निर्धारित करण्यास अनुमती देतात.

आकृती पृष्ठभाग

जर आपण वर दिलेल्या प्रिझमच्या व्याख्येकडे वळलो, तर आकृतीची पृष्ठभाग काय दर्शवते हे समजणे कठीण होणार नाही. पृष्ठभाग हे सर्व चेहऱ्यांचे क्षेत्रफळ आहे. सरळ प्रिझमसाठी, हे सूत्रानुसार मोजले जाते:

S = 2*S o + P o *h

जेथे S o हे पायाचे क्षेत्रफळ आहे, P o हे पायावरील n-gon चा परिमिती आहे, h ही उंची आहे (पायांमधील अंतर).

आकृती खंड

सरावासाठी पृष्ठभागासह, प्रिझमची मात्रा जाणून घेणे महत्वाचे आहे. हे खालील सूत्र वापरून निर्धारित केले जाऊ शकते:

ही अभिव्यक्ती तिरकस असलेल्या आणि अनियमित बहुभुजांनी बनलेल्या प्रिझमसह पूर्णपणे कोणत्याही प्रकारच्या प्रिझमसाठी सत्य आहे.

योग्यतेसाठी, हे बेसच्या बाजूच्या लांबीचे आणि आकृतीच्या उंचीचे कार्य आहे. संबंधित n-गोनल प्रिझमसाठी, V च्या सूत्राला विशिष्ट स्वरूप आहे.

प्रिझमॅटिक पॉलिहेड्रॉन 4 आणि त्याहून अधिक आकारमानाच्या स्पेसमधील प्रिझमचे सामान्यीकरण आहे. n-आयामी प्रिझमॅटिक पॉलीहेड्रॉन दोनपासून बनवले जाते ( n− 1 -आयामी पॉलीटोप पुढील परिमाणात नेले जातात.

प्रिझमॅटिक घटक n-आयामी पॉलिहेड्रॉन घटकांपासून दुप्पट केले जातात ( n− 1 -आयामी पॉलिहेड्रॉन, नंतर पुढील स्तराचे नवीन घटक तयार केले जातात.

चला घेऊया n- घटकांसह आयामी पॉलिहेड्रॉन f i (\ displaystyle f_(i)) (i- मितीय किनार, i = 0, ..., n). प्रिझमॅटिक ( n + 1 (\ प्रदर्शन शैली n+1)-आयामी पॉलिहेड्रॉन असेल 2 f i + f − 1 (\displaystyle 2f_(i)+f_(-1))परिमाण घटक i(वर f − 1 = 0 (\displaystyle f_(-1)=0), f n = 1 (\ प्रदर्शन शैली f_(n)=1)).

परिमाणानुसार:

• एक बहुभुज घ्या nशिखरे आणि nपक्ष २ सह प्रिझम मिळवा nशिखर, 3 nबरगड्या आणि 2+n (\displaystyle 2+n)चेहरे
• आम्ही सह एक पॉलिहेड्रॉन घेतो विशिखरे, eबरगड्या आणि fचेहरे आम्हाला 2 सह (4-आयामी) प्रिझम मिळतो विशिरोबिंदू, कडा, चेहरे आणि 2+f (\displaystyle 2+f)पेशी
• आम्ही 4-मितीय पॉलिहेड्रॉन घेतो विशिखरे, eबरगड्या fचेहरे आणि cपेशी आम्हाला 2 सह (5-आयामी) प्रिझम मिळतो विशिखरे, 2e+v (\displaystyle 2e+v)बरगड्या 2 f + e (\displaystyle 2f+e)(2-आयामी) चेहरे, 2 c + f (\ displaystyle 2c+f)पेशी आणि 2+c (\displaystyle 2+c)हायपरसेल्स

एकसमान प्रिझमॅटिक पॉलिहेड्रा

बरोबर n- पॉलीटोप श्लाफ्ली चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो ( p, q, ..., ट), आकारमानाचा एकसमान प्रिझमॅटिक पॉलिहेड्रॉन बनवू शकतो ( n+ 1 ) दोन Schläfli चिन्हांच्या थेट उत्पादनाद्वारे दर्शविले जाते: ( p, q, ..., ट}×{}.

परिमाणानुसार:

• 0-आयामी पॉलिहेड्रॉनमधील प्रिझम हा एक रेषाखंड आहे, जो रिक्त श्लाफ्ली चिन्ह () द्वारे दर्शविला जातो.
• 1-आयामी पॉलिहेड्रॉनमधील प्रिझम हा दोन रेषाखंडांमधून प्राप्त केलेला आयत आहे. हे प्रिझम Schläfli चिन्हांचे उत्पादन म्हणून दर्शविले जाते ()×(). जर प्रिझम एक चौरस असेल, तर नोटेशन संक्षिप्त केले जाऊ शकते: ()×() = (4).
• बहुभुज प्रिझम हे दोन बहुभुजांपासून बनवलेले त्रि-आयामी प्रिझम आहे (एकाला समांतर भाषांतर करून प्राप्त होतो) जे आयतांद्वारे जोडलेले आहेत. नियमित बहुभुजातून ( p) आपण एकसंध मिळवू शकता n-उत्पादनाद्वारे प्रस्तुत कोळसा प्रिझम ( p)×(). जर ए p= 4 , प्रिझम एक घन बनतो: (4)×() = (4, 3).
• 4-आयामी प्रिझम दोन पॉलीहेड्रापासून बनवलेले (एक दुसऱ्याच्या समांतर भाषांतराद्वारे प्राप्त होते), 3-मितीय प्रिझमॅटिक पेशींना जोडून. नियमित पॉलिहेड्रॉनमधून ( p, q) उत्पादनाद्वारे दर्शविलेले एकसंध 4-आयामी प्रिझम मिळू शकते ( p, q)×(). जर पॉलिहेड्रॉन एक घन असेल आणि प्रिझमच्या बाजू देखील घन असतील तर, प्रिझम टेसरॅक्ट बनते: (4, 3)×() = (4, 3, 3).

उच्च-आयामी प्रिझमॅटिक पॉलिहेड्रा कोणत्याही दोन पॉलिहेड्राचे थेट उत्पादन म्हणून देखील अस्तित्वात आहेत. प्रिझमॅटिक पॉलीहेड्रॉनची परिमाणे उत्पादनाच्या घटकांच्या परिमाणांच्या गुणाकाराच्या समान असते. अशा उत्पादनाचे पहिले उदाहरण 4-आयामी जागेत अस्तित्वात आहे आणि त्याला डुओप्रिझम म्हणतात, जे दोन बहुभुज गुणाकार करून प्राप्त केले जातात. रेग्युलर ड्युओप्रिझम या चिन्हाने दर्शविले जातात ( p}×{ q}.

नियमित कुटुंब प्रिझम

बहुभुज
मोझॅक

प्रिझम ही एक भौमितिक त्रिमितीय आकृती आहे, ज्याची वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म हायस्कूलमध्ये अभ्यासले जातात. नियमानुसार, त्याचा अभ्यास करताना, व्हॉल्यूम आणि पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ यासारख्या प्रमाणांचा विचार केला जातो. या लेखात, आम्ही थोडा वेगळा प्रश्न प्रकट करू: आम्ही चतुर्भुज आकृतीचे उदाहरण वापरून प्रिझमच्या कर्णांची लांबी निर्धारित करण्यासाठी एक पद्धत देऊ.

कोणत्या आकाराला प्रिझम म्हणतात?

भूमितीमध्ये, प्रिझमची खालील व्याख्या दिली आहे: ही एक त्रिमितीय आकृती आहे जी एकमेकांना समांतर असलेल्या दोन बहुभुज समान बाजूंनी बांधलेली आहे आणि समांतरभुज चौकोनांची एक निश्चित संख्या आहे. खालील आकृती या व्याख्येशी जुळणारे प्रिझमचे उदाहरण दाखवते.

आपण पाहतो की दोन लाल पंचकोन एकमेकांच्या समान आहेत आणि दोन समांतर समतल आहेत. पाच गुलाबी समांतरभुज चौकोन या पंचकोनांना एकाच वस्तू - प्रिझममध्ये जोडतात. दोन पंचकोनांना आकृतीचा पाया म्हणतात आणि त्याचे समांतरभुज चौकोन बाजूचे मुख आहेत.

प्रिझम सरळ आणि कलते असतात, ज्यांना आयताकृती आणि तिरकस देखील म्हणतात. त्यांच्यातील फरक बेस आणि बाजूच्या चेहर्यांमधील कोनांमध्ये आहे. आयताकृती प्रिझमसाठी, हे सर्व कोन 90 o आहेत.

पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजाच्या बाजूंच्या किंवा शिरोबिंदूंच्या संख्येनुसार, ते त्रिकोणी, पंचकोनी, चतुर्भुज प्रिझम इत्यादींबद्दल बोलतात. शिवाय, जर हा बहुभुज नियमित असेल आणि प्रिझम स्वतः सरळ असेल तर अशा आकृतीला नियमित म्हणतात.

मागील आकृतीमध्ये दर्शविलेले प्रिझम पंचकोनी तिरकस आहे. खाली पंचकोनी सरळ प्रिझम आहे, जे बरोबर आहे.

प्रिझमचे कर्ण निश्चित करण्याच्या पद्धतीसह सर्व गणना नियमित आकृत्यांसाठी सोयीस्करपणे केल्या जातात.

कोणते घटक प्रिझमचे वैशिष्ट्य करतात?

आकृतीचे घटक ते बनवणारे भाग असतात. विशेषत: प्रिझमसाठी, तीन मुख्य प्रकारचे घटक वेगळे केले जाऊ शकतात:

• उत्कृष्ट
• कडा किंवा बाजू;
• बरगड्या

चेहरे बेस आणि साइड प्लेन आहेत, जे सामान्य बाबतीत समांतरभुज आहेत. प्रिझममध्ये, प्रत्येक बाजू नेहमी दोन प्रकारांपैकी एकाची असते: एकतर ती बहुभुज किंवा समांतरभुज आहे.

प्रिझमच्या कडा हे असे खंड आहेत जे आकृतीच्या प्रत्येक बाजूला बांधलेले असतात. चेहऱ्यांप्रमाणे, कडा देखील दोन प्रकारात येतात: ते जे बेस आणि बाजूच्या पृष्ठभागाशी संबंधित आहेत किंवा जे फक्त बाजूच्या पृष्ठभागाशी संबंधित आहेत. प्रिझमच्या प्रकाराकडे दुर्लक्ष करून पूर्वीचे नेहमी नंतरच्या पेक्षा दुप्पट असतात.

शिरोबिंदू हे प्रिझमच्या तीन कडांचे छेदनबिंदू आहेत, त्यापैकी दोन बेसच्या समतल भागात आहेत आणि तिसरे दोन बाजूंच्या चेहऱ्यांचे आहेत. प्रिझमचे सर्व शिरोबिंदू आकृतीच्या पायाच्या समतलांमध्ये आहेत.

वर्णन केलेल्या घटकांची संख्या एकाच समानतेमध्ये जोडलेली आहे, ज्याचे खालील स्वरूप आहे:

P \u003d B + C - 2.

येथे P म्हणजे कडांची संख्या, B - शिरोबिंदू, C - बाजू. या समानतेला युलरचे पॉलिहेड्रॉन प्रमेय म्हणतात.

आकृती त्रिकोणी नियमित प्रिझम दर्शवते. प्रत्येकजण मोजू शकतो की त्याला 6 शिरोबिंदू, 5 बाजू आणि 9 कडा आहेत. हे आकडे युलरच्या प्रमेयाशी सुसंगत आहेत.

प्रिझम कर्ण

खंड आणि पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ यांसारख्या गुणधर्मांनंतर, भूमितीच्या समस्यांमध्ये, विचाराधीन आकृतीच्या एका किंवा दुसर्‍या कर्णाच्या लांबीबद्दल माहिती अनेकदा आढळते, जी एकतर दिली जाते किंवा इतर ज्ञात मापदंडांमधून शोधणे आवश्यक असते. प्रिझमचे कर्ण कोणते आहेत याचा विचार करा.

सर्व कर्ण दोन प्रकारांमध्ये विभागले जाऊ शकतात:

1. चेहऱ्यांच्या विमानात पडलेला. ते प्रिझमच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुज किंवा बाजूच्या पृष्ठभागाच्या समांतरभुज चौकोनाच्या नॉन-लग्न शिरोबिंदूंना जोडतात. अशा कर्णांच्या लांबीचे मूल्य संबंधित कडांच्या लांबी आणि त्यांच्यामधील कोनांच्या ज्ञानाच्या आधारे निर्धारित केले जाते. समांतरभुज चौकोनांचे कर्ण निश्चित करण्यासाठी, त्रिकोणाचे गुणधर्म नेहमी वापरले जातात.
2. व्हॉल्यूमच्या आत पडलेले प्रिझम. हे कर्ण दोन पायाच्या समान नसलेल्या शिरोबिंदूंना जोडतात. हे कर्ण पूर्णपणे आकृतीच्या आत आहेत. मागील प्रकारापेक्षा त्यांची लांबी मोजणे काहीसे कठीण आहे. गणना पद्धतीमध्ये कडा आणि पायाची लांबी आणि समांतरभुज चौकोन यांचा समावेश होतो. सरळ आणि नियमित प्रिझमसाठी, गणना तुलनेने सोपी आहे, कारण ती पायथागोरियन प्रमेय आणि त्रिकोणमितीय कार्यांचे गुणधर्म वापरून केली जाते.

चौकोनी उजव्या प्रिझमच्या बाजूंचे कर्ण

वरील आकृती चार एकसारखे सरळ प्रिझम दाखवते आणि त्यांच्या कडांचे मापदंड दिलेले आहेत. डायगोनल ए, डायगोनल बी आणि डायगोनल सी प्रिझम तीन वेगवेगळ्या चेहऱ्यांचे कर्ण एका लाल रेषेने दाखवतात. प्रिझम ही 5 सेमी उंचीची सरळ रेषा असल्याने आणि तिचा पाया 3 सेमी आणि 2 सेमी बाजू असलेला आयत असल्याने, चिन्हांकित कर्ण शोधणे कठीण नाही. हे करण्यासाठी, आपल्याला पायथागोरियन प्रमेय वापरण्याची आवश्यकता आहे.

प्रिझमच्या पायाच्या कर्णाची लांबी (डायगोनल ए) आहे:

D A \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3.606 सेमी.

प्रिझमच्या बाजूच्या चेहऱ्यासाठी, कर्ण आहे (कर्ण B पहा):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5.831 सेमी.

शेवटी, दुसऱ्या बाजूच्या कर्णाची लांबी आहे (कर्ण C पहा):

D C \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5.385 सेमी.

आतील कर्णाची लांबी

आता चौकोनी प्रिझमच्या कर्णाच्या लांबीची गणना करू, जी मागील आकृतीमध्ये दर्शविली आहे (Diagonal D). जर तुमच्या लक्षात आले की हे त्रिकोणाचे कर्ण आहे ज्यामध्ये पाय प्रिझमची उंची (5 सेमी) आणि वरच्या डावीकडील आकृतीमध्ये दर्शविलेले कर्ण D A असेल (कर्ण A). मग आम्हाला मिळते:

D D \u003d √ (D A 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6.164 सेमी.

उजवा चतुर्भुज प्रिझम

रेग्युलर प्रिझमचा कर्ण ज्याचा पाया चौरस आहे तो वरील उदाहरणाप्रमाणेच मोजला जातो. संबंधित सूत्र असे दिसते:

D = √(2*a 2 +c 2).

जेथे a आणि c ही अनुक्रमे पायाच्या बाजूची आणि बाजूच्या काठाची लांबी आहेत.

लक्षात घ्या की गणनेमध्ये आम्ही फक्त पायथागोरियन प्रमेय वापरला आहे. मोठ्या संख्येने शिरोबिंदू (पंचकोनी, षटकोनी आणि याप्रमाणे) असलेल्या नियमित प्रिझमच्या कर्णांची लांबी निर्धारित करण्यासाठी, त्रिकोणमितीय कार्ये लागू करणे आधीच आवश्यक आहे.