В инженерных и инженерно-строительных науках (сопротивление материалов, строительная механика, теория прочности), под балкой понимается элемент несущей конструкции, воспринимающаяся преимущественно на изгибные нагрузки, и имеющая различные формы поперечного сечения.
Конечно, в реальном строительстве, балочные конструкции подвержены и другим видам нагружения (ветровой нагрузке, вибрации, знакопеременному нагружения), однако основной расчет горизонтальных, многоопертых и жесткозакрепленных балок проводится на действие или поперечной, или приведенной к ней эквивалентной нагрузке.
Расчетная схема рассматривает балку как жесткозакрепленный стержень или как стержень, установленный на двух опорах. При наличии 3 и более опор, стержневая система считается статически неопределимой и расчет на прогиб как всей конструкции, так и ее отдельных элементов, значительно усложняется.
При этом, основное нагружение рассматривается как сумма сил, действующая в направлении перпендикулярному сечению. Целью расчета на прогиб является определение максимального прогиба (деформации) который не должен превышать предельных значений и характеризует жесткость как отдельного элемента (так и всей связанной с ней строительной конструкции.
Основные положения расчетных методик
Современные строительные методики расчета стержневых (балочных) конструкций на прочность и жесткость, дают возможность уже на стадии проектирования определить значение прогиба и сделать заключение о возможности эксплуатации строительной конструкции.
Расчет на жесткость позволяет решить вопрос о наибольших деформациях, которые могут возникнуть в строительной конструкции при комплексном действии различного вида нагрузок.
Современные методы расчета, проводимые с использованием специализированных расчетов на электронно-вычислительных машинах, или выполняемые при помощи калькулятора, позволяют определить жесткость и прочность объекта исследований.
Несмотря на формализацию расчетных методик, которые предусматривают использование эмпирических формул, а действие реальных нагрузок учитывается введением поправочных коэффициентов (коэффициенты запаса прочности), комплексный расчет достаточно полно и адекватно оценивает эксплуатационную надежность возведенного сооружения или изготовленного элемента какой-либо машины.
Несмотря на отдельность прочности расчетов и определения жесткости конструкции, обе методики взаимосвязаны, а понятия «жесткость» и «прочность» неразделимы. Однако, в деталях машин, основное разрушение объекта происходит из-за потери прочности, в то время как объекты строительной механики часто непригодны к дальнейшей эксплуатации из значительных пластических деформаций, которые свидетельствуют о низкой жесткости элементов конструкции или объекта в целом.
Сегодня, в дисциплинах «Сопротивление материалов», «Строительная механика» и «Детали машин», приняты два метода расчета на прочность и жесткость:
- Упрощенный (формальный), при проведении которого в расчетах применяются укрупненные коэффициенты.
- Уточненный , где используются не только коэффициенты запаса прочности, но и производится расчет контракции по предельным состояниям.
Алгоритм расчета на жесткость
Формула определения прочности балки на изгиб
- M – максимальный момент, возникающий в балке (находится по эпюре моментов);
- W n , min – момент сопротивления сечения (находится по таблице или вычисляется для данного профиля), у сечения обычно 2-а момента сопротивления сечения, в расчетах используется Wx, если нагрузка перпендикулярна оси х-х профиля или Wy, если нагрузка перпендикулярна оси y-y;
- R y – расчетное сопротивление стали при изгибе (задается в соответствии с выбором стали);
- γ c – коэффициент условий работы (данный коэффициент можно найти в таблице 1 СП 16.13330.2011;
Алгоритм расчета на жесткость (определение величины прогиба) достаточно формализован и не представляет труда для овладения.
Для того, чтобы определить прогиб балки, необходимо в нижеприведенной последовательности выполнить следующие действия:
- Составить расчетную схему объекта исследований.
- Определить размерные характеристики балки и расчетных сечений.
- Рассчитать максимальную нагрузку , действующую на балку, определив точку ее приложения.
- При необходимости , балка (в расчетной схеме она заменятся невесомым стержнем) дополнительно проверяется на прочность по максимальному изгибающему моменту.
- Определяется значение максимального прогиба , который характеризует жесткость балки.
Для составления расчетной схемы балки, необходимо знать:
- Геометрические размеры балки , включая пролет между опорами, а при наличии консолей – их длину.
- Геометрическую форму и размеры поперечного сечения.
- Характер нагрузки и точки их приложения.
- Материал балки и его физико-механические характеристики.
При простейшем расчете двухопорных балок, одна опора считается жесткой, а вторая закреплена шарнирно.
Определение моментов инерции и сопротивления сечения
К геометрическим характеристикам, которые необходимы при выполнении расчетов на прочность и жесткость, относится момент инерции сечения (J) и момент сопротивления (W). Для вычисления их величины существуют специальные расчётные формулы.
Формула момента сопротивления сечения
При определении моментов инерции и сопротивления, необходимо обращать внимание на ориентацию сечения в плоскости разреза. С увеличением момента инерции жесткость балки увеличивается, а прогиб уменьшается. Это легко проверить на практике, пытаясь согнуть доску в обычном, «лежачем» положении и поставив ее на ребро.
Определение максимальной нагрузки и прогиба
Формула определения прогиба
- q – равномерно-распределенная нагрузка, выраженная в кг/м (Н/м);
- l – длина балки в метрах;
- E – модуль упругости (для стали равен 200-210 ГПа);
- I – момент инерции сечения.
При определении максимальной нагрузки, необходимо учитывать довольно значительное число факторов, действующих как постоянно (статические нагрузки), так и периодически (ветровая, вибрационная ударная нагрузка).
В одноэтажном доме, на деревянный брус потолочного перекрытия будут действовать постоянные весовые усилия от собственного веса, расположенных на втором этаже простенков, мебели, находящихся обитателей и так далее.
Особенности расчета на прогиб
Конечно, расчет элементов перекрытий на прогиб проводится для всех случаев и обязателен при наличии значительного уровня внешних нагрузок.
Сегодня, все вычисления величины прогиба достаточно формализованы и все сложные реальные нагружения сведены к следующим простым расчетным схемам:
- Стержень , опирающийся на неподвижную и шарнирно закрепленную опоры, воспринимающий сосредоточенную нагрузку (случай рассмотрен выше).
- Стержень , опирающийся на неподвижную и шарнирно закрепленную на который действует распределенное нагружение.
- Различные варианты нагружения жестко закрепощённого консольного стержня.
- Действие на расчетный объект сложной нагрузки – распределенной, сосредоточенной, изгибающего момента.
При этом, методика и алгоритм расчета не зависят от материала изготовления, прочностные характеристики которого учтены различными значениями модуля упругости.
Наиболее распространенной ошибкой обычно является недоучет единиц измерения. К примеру, силовые факторы в расчетные формулы подставляются в килограммах, а величина модуля упругости принимается по системе «СИ», где нет понятия «килограмм силы», а все усилия измеряются в ньютонах или килоньютонах.
Разновидности балок, применяемых в строительстве
Современная стройиндустрия при возведении сооружений промышленного и жилого назначения, практикует использование стержневых систем различного сечения, формы и длины, изготовленных из различных материалов.
Наиболее большее распространение получили стальные и деревянные изделия. В зависимости от используемого материала, определение значения прогиба имеет свои нюансы, связанные со структурой и однородностью материала.
Деревянные
Современное малоэтажное строительство индивидуальных домов и загородных коттеджей практикует широкое использование лаг, изготовленных из хвойных и твердых пород древесины.
В основном, деревянные изделия, работающие на изгиб, применяются для обустройства напольных и потолочных перекрытий. Именно эти элементы конструкции испытают наибольшее действие поперечных нагрузок, взывающих наибольший прогиб.
Стрела прогиба деревянной лаги зависит:
- От материала (породы древесины), который использовался при изготовлении балки.
- От геометрических характеристик и формы попечённого сечения расчетного объекта.
- От совокупного действия различного вида нагрузок.
Критерий допустимости прогиба балки учитывает два фактора:
- Соответствие реального прогиба предельно допустимым значениям.
- Возможность эксплуатации конструкции при наличии расчетного прогиба.
Стальные
Имеют более сложное сечение, которое может быть составным, выполненным из нескольких видов металлического проката. При расчете металлоконструкций, помимо определения жесткости самого объекта его элементов, часто появляется необходимость определения прочностных характеристик соединений.
Обычно, соединение отдельных элементов стальной металлоконструкции проводится:
- Путем применения резьбовых (шпилечных, болтовых и винтовых) соединений.
- Соединением заклепками.
Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.
Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.
Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.
Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.
При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .
Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.
Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.
Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.
Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость
которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.
Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения
1) Выполняется гипотеза плоских сечений.
2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.
3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.
5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:
где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.
Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.
Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии
Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии
Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.
Выберем некоторое сечение
Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:
, где н.о. — это нейтральная ось
это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Условие прочности по нормальным напряжениям:
Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.
Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.
При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.
При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям.
В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины. В методе расчета по предельным состояниям эта величина принимается равной расчетному сопротивлению R, умноженному на коэффициент условий работы у с.
Условие прочности имеет следующий вид:
Значения R и у с для различных материалов приведены в СНиП по строительным конструкциям.
Для балок из пластичного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, целесообразно использовать сечения с двумя осями симметрии. В этом случае условие прочности (7.33) с учетом формулы (7.19) записывается в виде
Иногда по конструктивным соображениям применяются балки с несимметричным сечением типа тавра, разнополочного двутавра и т.п. В этих случаях условие прочности (7.33) с учетом (7.17) записывается в виде
В формулах (7.34) и (7.35) W z и W HM - моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси Oz„ М нб - наибольший по абсолютной величине изгибающий момент от действия расчетных нагрузок, т.е. с учетом коэффициента надежности по нагрузке у^.
Сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент, называется опасным сечением.
При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузоподъемности) балки, т.е. определение значений нагрузок, при которых наибольшие напряжения в опасном сечении балки не превышают значения y c R.
Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала.
Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала. Вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) определяется величина требуемого момента сопротивления
а затем устанавливаются размеры сечения.
Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры) по величине момента сопротивления подбор сечения производится по сортаменту. Для непрокатных сечений устанавливаются характерные размеры сечения.
При решении задачи по определению грузоподъемности балки вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) находится величина наибольшего расчетного изгибающего момента по формуле
Затем изгибающий момент в опасном сечении выражается через приложенные к балке нагрузки и из полученного выражения определяются соответствующие величины нагрузок. Например, для стальной двутавровой балки 130, изображенной на рис. 7.47, при R = 210 МПа, у с = 0,9, W z = 472 см 3 находим
По эпюре изгибающих моментов находим
Рис. 7.47
В балках, нагруженных большими по величине сосредоточенными силами, близко расположенными к опорам (рис. 7.48), изгибающий момент М нб может оказаться сравнительно небольшим, а поперечная сила 0 нб по абсолютной величине может быть значительной. В этих случаях необходимо производить проверку прочности балки по наибольшим касательным напряжениям т нб. Условие прочности по касательным напряжениям можно записать в виде
где R s - расчетное сопротивление материала балки при сдвиге. Значения R s для основных строительных материалов приведены в соответствующих разделах СНиП.
Касательные напряжения могут достигать значительной величины в стенках двутавровых балок, особенно в тонких стенках составных балок.
Расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь решающее значение для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Так, например, для сосны расчетное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе R = 13 МПа, а при скалывании вдоль волокон R CK = 2,4 МПа. Такой расчет необходим также при оценке прочности элементов соединений составных балок - сварных швов, болтов, заклепок, шпонок и т.п.
Условие прочности на скалывание вдоль волокон для деревянной балки прямоугольного сечения с учетом формулы (7.27) можно записать в виде
Пример 7.15. Для балки, показанной на рис. 7.49, а, построим эпюры Q y и M v подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра и построим эпюры с х и т в сечениях с наибольшими Q y и M z . Коэффициент надежности по нагрузке y f = 1,2, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см 2 , коэффициент условий работы у с = 1,0.
Расчет начинаем с определения опорных реакций:
Вычислим значения Q y и M z в характерных сечениях балки.
Поперечные силы в пределах каждого участка балки являются постоянными величинами и имеют скачки в сечениях под силой и на опоре В. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюры Q y и M z приведены на рис. 7.49, б, в.
Опасным является сечение в середине пролета балки, где изгибающий момент имеет наибольшее значение. Вычислим расчетное значение наибольшего изгибающего момента:
Требуемый момент сопротивления равен
По сортаменту принимаем сечение 127 и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 7.50, а):
Вычислим значения наибольших нормальных напряжений в опасном сечении балки и проверим ее прочность:
Прочность балки обеспечена.
Касательные напряжения имеют наибольшие значения на участке балки, где действует наибольшая по абсолютной величине поперечная сила (2 нб = 35 кН.
Расчетное значение поперечной силы
Вычислим значения касательных напряжений в стенке двутавра на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения стенки с полками:
Эпюры с х и х, в сечении л: = 2,4 м (справа) приведены на рис. 7.50, б, в.
Знак касательных напряжений принят отрицательным, как соответствующий знаку поперечной силы.
Пример 7.16. Для деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.51, а) построим эпюры Q и M z , определим высоту сечения h из условия прочности, приняв R = = 14 МПа, уу= 1,4 и у с = 1,0, и проверим прочность балки на скалывание по нейтральному слою, приняв R CK = 2,4 МПа.
Определим опорные реакции:
Вычислим значения Q v
и M z
в характерных сечениях балки.
В пределах второго участка поперечная сила обращается в нуль. Положение этого сечения находим из подобия треугольников на эпюре Q y:
Вычислим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении:
Эпюры Q y и M z приведены на рис. 7.51, б, в.
Опасным является сечение балки, где действует максимальный изгибающий момент. Вычислим расчетное значение изгибающего момента в этом сечении:
Требуемый момент сопротивления сечения
Выразим с помощью формулы (7.20) момент сопротивления через высоту сечения h и приравняем его требуемому моменту сопротивления:
Принимаем прямоугольное сечение 12x18 см. Вычислим геометрические характеристики сечения:
Определим наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении балки и проверим ее прочность:
Условие прочности выполняется.
Для проверки прочности балки на скалывание вдоль волокон надо определить значения максимальных касательных напряжений в сечении с наибольшей по абсолютной величине поперечной силой 0 нб = 6 кН. Расчетное значение поперечной силы в этом сечении
Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении действуют на уровне нейтральной оси. Согласно закону парности они действуют также в нейтральном слое, стремясь вызвать сдвиг одной части балки относительно другой части.
Используя формулу (7.27), вычислим значение т тах и проверим прочность балки на скалывание:
Условие прочности на скалывание выполняется.
Пример 7.17. Для деревянной балки круглого сечения (рис. 7.52, а) построим эпюры Q y n M z n определим из условия прочности необходимый диаметр сечения. В расчетах примем R = 14 МПа, уу = 1,4 и у с = 1,0.
Определим опорные реакции:
Вычислим значения Q и М 7 в характерных сечениях балки.
Эпюры Q y и M z приведены на рис. 7.52, б, в. Опасным является сечение на опоре В с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом М нб = 4 кНм. Расчетное значение изгибающего момента в этом сечении
Вычислим требуемый момент сопротивления сечения:
Используя формулу (7.21) для момента сопротивления круглого сечения, найдем требуемый диаметр:
Примем D= 16 см и определим наибольшие нормальные напряжения в балке:
Пример 7.18. Определим грузоподъемность балки коробчатого сечения 120x180x10 мм, нагруженной согласно схеме на рис. 7.53, а. Построим эпюры с х и т в опасном сечении. Материал балки - сталь марки ВСтЗ, R = 210 МПа = 21 кН/см 2 , У/= U, Ус = °’ 9 -
Эпюры Q y и M z приведены на рис. 7.53, а.
Опасным является сечение балки вблизи заделки, где действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент М нб - Р1 = 3,2 Р.
Вычислим момент инерции и момент сопротивления коробчатого сечения:
Учитывая формулу (7.37) и полученное значение для Л/ нб, определим расчетное значение силы Р:
Нормативное значение силы
Наибольшие нормальные напряжения в балке от действия расчетной силы
Вычислим статический момент половины сечения ^1/2 и статический момент площади поперечного сечения полки S n относительно нейтральной оси:
Касательные напряжения на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения полки со стенками (рис. 7.53, б) равны:
Эпюры о х и т ух в сечении вблизи заделки приведены на рис. 7.53, в, г.
Изгибом называется деформация , связанная с искривлением оси бруса (или изменением его кривизны). Прямой брус, воспринимающий в основном изгибающую нагрузку, называется балкой. В общем случае при изгибе в поперечных сечениях балки имеют место два внутренних силовых фактора: перерезывающая сила Q и изгибающий момент. Если в поперечных сечениях балки действует только один силовой фактор, а , то изгиб называется чистым. Если в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.
Изгибающий моменти поперечная сила Q определяются методом сечений. В произвольном поперечном сечении бруса величина Q численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних (активных и реактивных) сил приложенных к отсеченной части; изгибающий моментв произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментоЕ всех внешних сил и пар сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Для системы координат, ноказанно) на рис. 2.25, изгибающий момент от нагрузок, расположенных в плоскости хОу, действует относительно оси г, а перерезывающая сила – по направлению оси у. Поэтому обозначим перерезывающую силу , изгибающий момент
Если поперечная нагрузка действует так, что ее плоскость совпадает с плоскостью, содержащей одну из главных центральных осей инерции сечений, то изгиб называетсяпрямым.
Для изгиба характерны два вида перемещений:
- искривление продольной оси бруса Ох, соответствующее перемещениям точек оси бруса в направлении Оу,
- поворот в пространстве одного поперечного сечения относительно другого, т.е. поворот сечения относительно оси г в плоскости XОу.
Рис. 2.25
Дифференциальные и интегральные зависимости при изгибе
Пусть на балку действует непрерывная распределенная нагрузка q(x) (рис. 2.26, а). Двумя поперечными сечениями т–т и п–п выделим участок балки длиной dx. Полагаем, что на этом участке д(х) = const ввиду малости длины участка.
Внутренние силовые факторыи, действующие в сечении п–п, получают некоторое приращение и будут равны. Рассмотрим равновесие элемента (рис. 2.26, б):
а) , отсюда
Рис. 2.26
Членможно опустить, так как он имеет второй порядок малости по сравнению с остальными. Тогда
Подставляя равенство (2.69) в выражение (2.68), получаем
Выражения (2.68)-(2.70) называются дифференциальными зависимостями при изгибе балки. Они справедливы только для балок с первоначально прямолинейной продольной осью.
Правило знаков для и носит условный характер:
Графическииизображаются в виде эпюр. Положительные значения откладываются вверх от оси бруса, отрицательные – вниз.
Рис. 2.27
Нормальные напряжения при чистом изгибе балки
Рассмотрим модель чистого изгиба (рис. 2.28, а, б). После окончания процесса нагружения продольная ось балки X искривится, а ее поперечные сечения повернутся относительно своего первоначального положения на уголг/О. Для выяснения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки примем следующие допущения:
- при чистом прямом изгибе сира ведлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси во время и после деформации;
- волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга;
- материал работает в пределах упругости.
В результате деформации изгиба ось х искривится и сечениеповернется относительно условно защемленного сеченияна угол. Определим продольную деформацию произвольного волокна АВ, расположенного на расстоянии у от продольной оси (см. рис. 2.28, а).
Пусть – радиус кривизны оси бруса (см.рис. 2.28, б). Абсолютное удлинение волокна АВ равно. Относительное удлинение этого волокна
Так как согласно допущению волокна друг на друга не надавливают, то они находятся в состоянии одноосного растяжения или сжатия. Используя закон Гука, получим зависимость изменения напряжений по поперечному сечению батки:
Величинапостоянна для данного сечения, поэтому изменяется по высоте сечения в зависимости от координа-
Рис. 2.28
Рис. 2.29
ты у. При изгибе часть волокон бруса растягивается, часть – сжимается. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей длины. Этот слой называется нейтральным.
Напряжения σ* в нейтральном слое должны равняться нулю, соответственно Этот результат следует из выражения (2.71) при. Рассмотрим выражения дляПоскольку при чистом изгибе продольная сила равна нулю, то запишем:
(рис. 2.29), а так как", то , т.е.. Отсюда следует, что ось Οζ
является центральной. Эта ось в поперечном сечении называется нейтральной линией. Для чистого прямого изгиба Тогда
Поскольку , то
Отсюда следует, что оси Οζ и Оу сечения являются не только центральными, но и главными осями инерции. Это предположение делалось выше при определении понятия "прямой изгиб". Подставив в выражение для изгибающего моментазначениеиз выражения (2.71), получим
Или , (2.72)
где– момент инерции относительно главной центральной оси сечения Οζ.
Подставляя равенство (2.72) в выражение (2.71), получаем
Выражение (2.73) определяет закон изменения напряженияпо сечению. Видно, чтоизменяется не по координате 2 (т.е. по ширине сечения нормальные напряжения постоянны), а по высоте сечения в зависимости от координаты у
Рис. 2. 30
(рис. 2.30). Значения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. при . Тогда . Обозначив , получим
где – момент сопротивления сечения изгибу.
Воспользовавшись формулами для главных центральных моментов инерции основных геометрических форм сечений, получим следующие выражения для:
Прямоугольное сечение: , где – сторона, параллельная оси г; h – высота прямоугольника. Так как ось г проходит по середине высоты прямоугольника, то
Тогда момент сопротивления прямоугольника
Рассчитывать балку на изгиб
можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки
на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.
После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:
Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке
и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов
(сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала
, а для хрупких
(чугун) – пределу прочности
. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.
Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.
На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м
По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа
После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.
2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).